Einführung in die Differentialgeometrie I – Buch gebraucht kaufen

leichte Gebrauchsspuren

144

177 g

Taschenbuch

Deutsch

Zustand siehe Bild/Bilder. Zusätzlich: Ecken und Kanten leicht bestoßen. Seiten und Buchschnitt leicht abgedunkelt. Das Buch ist mit einem festverklebten durchsichtigen Schutzumschlag versehen, siehe Bild. Einige wenige Anstreichungen und Anmerkungen im Text. Einband abgedunkelt und fingerfleckig.

Vorwort

In der Differentialgeometrie ist eine Synthese von Differential- und Integralrechnung einerseits und Elementargeometrie andererseits zu beobachten. Deshalb müssen einige Vorkenntnisse bezüglich dieser Teilgebiete vorausgesetzt werden. In zwei vorbereitenden Abschnitten werden die diesbezüglichen Begriffe und Aussagen zusammengestellt, wie sie zum überwiegenden Teil in den Lehrbüchern der Oberschule enthalten sind. Hinsichtlich der Differentialrechnung wird dabei gleich auf Funktionen von mehreren Variablen einschließlich ihrer graphischen Darstellung und Stetigkeit, ihrer partiellen Ableitungen und des Satzes von SCHWARZ sowie der Taylorentwicklung hingewiesen, weil die angeführten Begriffe und Sätze für das zweite Kapitel, die Krümmungstheorie der Flächen, gebraucht werden. Andererseits können die betreffenden Ausführungen bei der Vorbereitung auf das erste Kapitel, die Kurventheorie, zunächst übergangen werden. Über das Niveau der Lehrbücher der Oberschule geht der Begriff der Differentialgleichung hinaus; der Existenz- und Eindeutigkeitssatz für die Lösung von linearen Differentialgleichungssystemen wird beim Beweis des Fundamentalsatzes der Kurventheorie benötigt.
Die Zusammenstellung von Begriffen und Aussagen aus der linearen Algebra und analytischen Geometrie basiert ebenfalls auf den genannten Lehrbüchern. Es werden jedoch für das Vektorprodukt die wichtigsten Eigenschaften aufgeführt, der Entwicklungssatz angegeben und das Spatprodukt eingeführt. Der Abschnitt schließt mit einer Übersicht über alle Kurven und Flächen zweiter Ordnung. Hervorzuheben ist noch die Verwendung von Matrizen und Determinanten bei der Darstellung von Koordinatentransformationen, linearen Gleichungssystemen und den diesbezüglichen Lösbarkeitsaussagen.
Der erste Abschnitt des Kapitels Kurventheorie beginnt mit einer Präzisierung des Kurvenbegriffs und endet mit Ausführungen zu den zulässigen Parameterdarstellungen. Danach wird die Bogenlänge als natürlicher Parameter eingeführt. Im dritten Abschnitt erscheinen das begleitende Dreibein einer Kurve und die Frenetschen Formeln; sie stellen ein unentbehrliches Hilfsmittel für die Lösung theoretischer und praktischer Aufgaben der Kurventheorie dar. Hieran schließt sich die Ermittlung der Krümmung und Windung einiger spezieller Kurven an. Die Deutung von Krümmung und Windung wird im fünften Abschnitt fortgesetzt, indem Krümmungskreis und begleitende Schraubung ermittelt werden. Mit Hilfe der Taylorentwicklung können die charakteristischen Näherungsparabeln der Projektion in die Schmieg-, Normal- bzw. rektifizierende Ebene entwickelt werden. Der Fundamentalsatz der Kurventheorie klärt die Bedeutung von Krümmung und Windung für eine Kurve abschließend und gibt den Anlaß zur Aufstellung ihrer natürlichen Gleichungen; insbesondere kann jetzt eine Übersicht über alle Kurven konstanter Krümmung und Windung gegeben werden. Im letzten Abschnitt des ersten Kapitels werden Kurven behandelt, die in Anwendungen besonders interessant sind: Böschungslinien, Klothoiden, Fadenevolventen und -evoluten (insbesondere Evolvente der Kettenlinie und Evolute der Ellipse), Zykloiden und Trochoiden als spezielle Rollkurven, Spiralen oder Schneckenlinien. Es sei nochmals hervorgehoben, daß sich die Kurventheorie an die Mathematikausbildung für Abiturienten anschließt.
Bei der Einführung in die Krümmungstheorie der Flächen im zweiten Kapitel werden ebenfalls geringe Vorkenntnisse vorausgesetzt, es werden jedoch der gesamte Inhalt der vorbereitenden Abschnitte und die wesentlichsten Aussagen der Kurventheorie benutzt. Die Gaußsche Parameterdarstellung einer Flächenkurve bezüglich einer zulässigen Parameterdarstellung der Fläche erfordert für die Berechnung des Tangentenvektors die Kettenregel bei Funktionen von mehreren Variablen. Andererseits hilft die geometrische Interpretation der partiellen Ableitungen und der Kettenregel bei der Aneignung dieses Begriffs bzw. dieser Aussage aus der Differentialrechnung. Die grundlegenden Begriffe der Flächentheorie wie Tangentialebene und begleitendes Dreibein werden zunächst am Beispiel des Graphen einer Funktion von zwei Variablen, der Drehfläche und der Regelfläche studiert. Die Behandlung der Regelflächen geht von ihrer Definition über hyperbolisches Paraboloid, einschaliges Hyperboloid, Kegel-, Zylinder- und Tangentenfläche als Beispielen zu den Torsen, für die eine vollständige Übersicht erarbeitet wird; an dieser Stelle konnte der Begriff der Hüllkurve organisch eingegliedert werden. Die Behandlung der Längen-, Winkel- und Flächeninhaltsmessung im vierten Abschnitt schließt Anwendungen auf Drehflächen, Funktionen zweier Variablen, Kreis und Halbkugel ein. Im Zusammenhang mit der Einführung von Normal- und geodätischer Krümmung werden die Ableitungsgleichungen von GAUSS aufgestellt und die zweiten Fundamentalgrößen eingeführt. Hier beginnt die Darstellung der Krümmungstheorie der Flächen im engeren Sinne. Im sechsten und siebenten Abschnitt werden der Satz von MEUSNIER gefolgert, die Hauptkrümmungen als Extremwerte der Normalkrümmungen gefunden und der Satz von EULER ausgesprochen.
Nach der Definition der Gaußschen und der mittleren Krümmung mit Hilfe der Hauptkrümmungen findet nach Beispielen die Einführung von K nach GAUSS ihren Platz; dabei werden die Ableitungsgleichungen von WEINGARTEN entwickelt. Die Klassifikation der Flächenpunkte mit Hilfe der Gaußschen Krümmung wird geometrisch gedeutet und durch die Untersuchung der Dupinschen Indikatrix vertieft. Den Abschluß des zweiten Kapitels bilden Ausführungen über Minimalflächen, speziell über die Wendelfläche und
das Katenoid.
Die vorliegende Einführung in die Differentialgeometrie, die in einem zweiten Bändchen durch die innere Geometrie einer Fläche und die Einführung in die Riemannsche Geometrie ergänzt wird, soll einerseits der Erweiterung der geometrischen Allgemeinbildung dienen und andererseits ein Hilfsmittel für die Anwendung der Differential- und Integralrechnung in der Praxis sein. Deshalb wurden die Grundzüge hinreichend streng dargestellt und außerdem zahlreiche Beispiele ausgeführt. Ich hoffe, somit den Interessen von Schülern der Abiturklassen, Lehrern, Lehrerstudenten, Studenten naturwissenschaftlicher und technischer Richtungen wie auch Naturwissenschaftlern und Technikern zu entsprechen. Bezüglich des weiteren Ausbaus der Theorie sowie spezieller Anwendungen muß auf die Literatur
verwiesen werden.
Die Kollegen J. EICHHORN, R. SULANKE und P. WINTGEN haben das Entstehen dieser elementaren Einführung durch Gespräche gefördert, wofür ich ihnen danke, ebenso wie den Kollegen H. WENDLAND und B. WERNICKE, die mich beim Korrekturlesen unterstützt haben. Dem VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften bin ich zu Dank verpflichtet, denn ohne seine Aufmunterung wäre wohl kaum dieses Bändchen zustande gekommen; insbesondere möchte ich Frau E. ARNDT für die sachkundige und umsichtige redaktionelle Bearbeitung des Manuskripts meinen Dank aussprechen. Schließlich bin ich dem VEB Druckerei „Thomas Müntzer“ Bad Langensalza für die sorgfältige Arbeit sehr verbunden.

Potsdam, im Frühjahr 1981
B. KLOTZEK

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1981

BN16185