Eine konkrete Einführung in die abstrakte Algebra – Buch antiquarisch kaufen

deutliche Gebrauchsspuren

204

179 g

Taschenbuch

Deutsch

Zustand siehe Bild/Bilder. Zusätzlich: Ecken und Kanten stärker bestoßen. Seiten und Buchschnitt stärker abgedunkelt. Einige Anstreichungen und Anmerkungen im Text. Buchschnitt teils Verschmutzungen, siehe Bilder. Vorderseite unten links Klebereste. Buchrücken unten eingerissen und mit Tesa geklebt, siehe Bild. Einband abgegriffen und beschabt.


VORWORT

Über den Zweck dieses Buchs und wie man es lesen sollte

Es ist heute ein besonders unter Ingenieuren und Lehrern an höheren Schulen weit verbreiteter Wunsch, mehr über moderne Mathematik zu erfahren. Institute werden gegründet und unterhalten, um diesen Wunsch erfüllen zu helfen. Das vorliegende Buch wurde ursprünglich für ein solches Institut geschrieben und dort verwendet. Die einzelnen Kapitel dieses Buchs wurden als hektographierte Ausarbeitungen den Hörern ausgehändigt. Vorlesungen wurden keine gehalten; ich habe nicht versucht, denselben Stoff nochmals im Hörsaal auseinanderzusetzen. Die einzelnen Kapitel waren die „Vorlesungen“. Im Hörsaal diskutierten wir einfach über diesen Stoff. Die Hörer konnten Fragen stellen; unverstanden gebliebene Punkte wurden erklärt. Bei der Vorbereitung eines derartigen Kursus muß ein Professor natürlich eine gewisse Stoffauswahl treffen. Ein vollendetes mathematisches Kunstwerk zu verfassen, mag sein Ziel sein: Jedes Axiom wird genau formuliert, logisch völlig fehlerfrei wird jeder Schluß gezogen und schließlich wird alles behandelt, was im Stoffplan vorgeschrieben ist. Dies klingt alles ganz vortrefflich; in der Praxis hat es aber oftmals die Konsequenz, daß ein Teil der Hörerschaft nicht die leiseste Ahnung hat, um was es geht. Gewisse Axiome werden formuliert. Wie wählt man sie? Warum nimmt man lieber diese als Axiome und nicht andere? Welches Ziel hat man bei ihrer Auswahl im Auge?
Läßt man diese Fragen unbeantwortet, so fühlen sich die Hörer enttäuscht. Selbst wenn sie jedem einzelnen Schluß zu folgen vermögen, können sie doch nicht wirklich mit Erfolg über den Stoff nachdenken. Der Rahmen fehlt; die Hörer wissen nicht, wo der Gegenstand einzuordnen ist. Und dies wieder wirkt lähmend auf Verstand und Gedächtnis. Auf der anderen Seite kann der Professor bekannte Tatsachen als Ausgangspunkt wählen. Die Hörer sammeln Material, bearbeiten Probleme, beobachten Gesetzmäßigkeiten, sprechen Vermutungen aus, entdecken und beweisen Sätze selbständig. Man wird auf diese Weise nicht so rasch vorankommen, man wird auch nicht alle Gebiete behandeln können, die man sich vielleicht vorgenommen hat. Der Überblick mag am Schluß nicht abgerundet sein. Dafür aber versteht der Lernende, was er macht, und weiß bei jedem Schritt, wohin er führt: er beherrscht den behandelten Gegenstand sicher und ist in seinem Selbstvertrauen bestärkt. Er hat einmal erfahren, wie man mathematische Sätze entdeckt. Er wird die Mathematik nicht mehr für ein feststehendes Dogma halten, das man rein mechanisch auswendig lernt, sondern wird sie als in steter Entwicklung begriffene Wissenschaft verstehen. Ebenfalls wird er fest- stellen, daß die mathematischen Begriffe angesichts neuer Erkenntnisse laufend revidiert und schärfer formuliert werden. Es mag sein, daß im Lehrgang ein sehr begrenztes Gebiet nur behandelt wurde. Der Hörer sollte aber die Befähigung zum selbständigen Weiterstudium des Stoffes mitbekommen haben.
Diesen zweiten methodischen Weg bin ich in diesem Buch gegangen, von geläufigen Dingen zu unbekannten fortschreitend. Wo auch immer es möglich war, habe ich zu zeigen versucht, wie sich die moderne höhere Algebra aus der herkömmlichen elementaren Algebra entwickelt. Dennoch mögen einem die Dinge vielleicht eine Zeitlang fremd vorkommen. Dieses Gefühl der Fremdheit wird vorübergehen; es ist nichts daran zu ändern. Wir alle haben solche Empfindungen, wenn wir in eine für uns neue mathematische Disziplin einsteigen. Daß man dies Gefühl der Fremdheit verspürt, kann auch nicht sehr überraschen: Der traditionelle Lehrplan für höhere Schulen (Algebra, Geometrie, Trigonometrie) enthält wenig oder nichts, was nach 1650 entdeckt wurde.
Selbst wenn man Differential- und Integralrechnung sowie Differentialgleichungen gehört hat, so hat man dort Dinge gelernt, von denen sehr viele schon vor 1750 bekannt waren. Die moderne höhere Algebra aber entwickelte sich etwa in den Jahren 1900 bis 1930. Wer moderne Algebra auf der Grundlage der traditionellen Algebra zu lernen versucht, sieht sich Schwierigkeiten gegenüber, auf die auch Rip van Winkle gestoßen wäre, wäre er erst im 20. Jahrhundert erwacht. Rip würde dies Gefühl des Fremden nur dadurch überwinden können, daß er in Flugzeugen so lange herumflöge, bis ihm die ganze Sache gleichgültig geworden wäre.
Einige Erläuterungen zum Aufbau des Buchs mögen von Nutzen sein. Kapitel I hat einführenden Charakter und wird dem Leser bei der Lektüre hoffentlich keine Schwierigkeiten bereiten. Kapitel II ist ziemlich lang. In einem Buch für Fachmathematiker ließe sich sein Inhalt auf wenige Zeilen komprimieren. Gerade was diese wenigen Zeilen einem Mathematiker sagen würden, versuchte ich im Detail auseinanderzusetzen: Kapitel II war das Ergebnis dieses Versuchs. Dies Kapitel bereits enthält einen ganzen Passus ziemlich formaler Rechnungen (S. 51 bis 56). Vom psychologischen Standpunkt aus schien es mir bedauerlich, einen derartigen Passus schon an so früher Stelle des Buches bringen zu müssen, vom logischen aus aber war nicht zu ersehen, wohin ich ihn sonst hätte setzen sollen. Ich würde dem Leser empfehlen, diese Rechnungen bei der ersten Lektüre nicht zu wichtig zu nehmen. Die dahinter stehenden Gedanken werden vor Beginn der Rechnungen auseinandergesetzt. Daran anschließend sind die Rechnungen eingefügt, einfach
um zu zeigen, daß und wie sich das angekündigte Programm durchführen läßt. Dies möge mir der Leser bei der ersten Lektüre glauben; er kann ruhig die Seiten 51 bis 56 überschlagen. Später kann er dann auf diese formalen Beweise zurückkommen, wenn er die allgemeine Tendenz des Buchs verstanden hat. Ich möchte besonders hervorheben, daß die späteren Kapitel in keiner Weise von den Einzelheiten dieser Rechnungen abhängen, wohl aber von deren Ergebnissen. Der mittlere Teil des Buchs ist ohne weitere Schwierigkeiten. Die Lektüre dieser Kapitel müßte dem Leser eigentlich ziemlich leichtfallen.
Ich bin Herrn Professor Joseph Landin von der University of Illinois für die Anregung zu Dank verpflichtet, dies Buch gipfeln zu lassen im Beweis der Unmöglichkeit der Winkeldreiteilung mittels Zirkel und Lineal. Dieser Beweis (in Kapitel XI) zeigt, wie man moderne algebraische Begriffe zur Lösung eines alten Problems benutzen kann; er ist eines der Ziele, auf die die früheren Kapitel hinarbeiten. Vom Leser dieses Buchs setze ich eine einigermaßen sichere Kenntnis der elementaren Algebra voraus. Ein wichtiges Resultat der elementaren Algebra allerdings scheint mir nicht allgemein bekannt zu sein. Ich meine den sogenannten Restsatz für Polynome, der folgendes aussagt: Teilt man ein Polynom f(x) durch x— a, so bleibt f(a) als Rest. Falls der Leser diesen Satz und seinen einfachen Beweis nicht kennt, wäre es gut, wenn er sich beides etwa anhand eines klassischen Algebra-Lehrbuchs aneignen würde.

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1970

BN16190